LESSON 2.3 · UNIT Ⅰ-2
2.3

유리수의 정의

Rational Numbers — the great equivalence

유리수 = 유한소수 또는 순환소수. 두 표현은 하나의 집합 $\mathbb{Q}$.

HOOK

분수, 유한소수, 순환소수 — 같은 식구

지금까지의 여행을 돌이켜 봅시다. 분수를 소수로 바꾸면 두 길 중 하나 — 유한소수 또는 순환소수. 유한소수를 분수로 되돌리면? 분모 $10^n$의 분수. 순환소수를 분수로 되돌리면? $10^k$배 빼기 또는 공식으로.

결론: 분수와 유한소수와 순환소수는 사실 모두 같은 집합. 우리는 이 집합을 유리수(Rational Numbers)라 부르고 기호 $\mathbb{Q}$로 표기합니다.

"세 얼굴이 하나의 정체로 모인다. 그것이 $\mathbb{Q}$ — 유리수."

DEFINITION

유리수란 무엇인가

DEFINITION 01

유리수(rational number): 분자와 분모가 모두 정수이고 분모가 $0$이 아닌 분수로 나타낼 수 있는 수.

$\mathbb{Q} = \left\{\;\dfrac{a}{b} \;\middle|\; a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{Z},\ b \ne 0\;\right\}$

예시 — 모두 유리수

$5$
자연수 → $\dfrac{5}{1}$
✓ 유리수
$-3$
정수 → $\dfrac{-3}{1}$
✓ 유리수
$\dfrac{3}{5}$
분수
✓ 유리수
$0.25$
유한소수 → $\dfrac{1}{4}$
✓ 유리수
$0.\dot{3}$
순환소수 → $\dfrac{1}{3}$
✓ 유리수
$0$
정수 → $\dfrac{0}{1}$
✓ 유리수
왜 $b \ne 0$인가?

분모가 $0$인 분수($\dfrac{a}{0}$)는 정의되지 않습니다. "$0$으로 나눈다"는 연산 자체가 수학적으로 의미를 갖지 않기 때문. 따라서 유리수의 정의에서 분모는 항상 $0$이 아닌 정수입니다.

EQUIVALENCE

$\mathbb{Q}$ ⇔ 유한소수 또는 순환소수

지금까지의 모든 결과를 한 줄로 모으면:

THE GRAND EQUIVALENCE
어떤 수가 유리수다 $\;\Longleftrightarrow\;$ 유한소수 또는 순환소수로 나타낼 수 있다
이 두 표현은 같은 집합을 나타낸다.
방향 1 — 유리수 → 유한 또는 순환

임의의 분수 $\dfrac{a}{b}$를 나눗셈 ($a \div b$)으로 표현하면, 나머지는 $b$보다 작은 $b$개($0, 1, 2, \ldots, b-1$) 중 하나가 됩니다.

나머지가 $0$이 되면 → 나눗셈이 끝나서 유한소수.

나머지가 $0$이 아닌 채로 계속되면 → 비둘기집 원리에 의해 어떤 나머지가 다시 나타나고, 그때부터 같은 패턴이 반복되어 순환소수.

방향 2 — 유한 또는 순환 → 유리수

유한소수 $0.abc$는 곧 $\dfrac{abc}{10^n}$ → 분수 → 유리수.

순환소수는 공식으로 분수로 변환 가능 (2.2에서 배움) → 유리수.

모든 유리수의 판정 트리

유리수 $\dfrac{a}{b}$ (기약)
분모 소인수가 $2, 5$만
→ 유한소수
분모에 다른 소인수
→ 순환소수
NUMBER SYSTEM

수의 위계

$1$학년부터 우리가 다뤄 온 수들은 모두 차곡차곡 위계를 이룹니다.

자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수
유리수 $\mathbb{Q}$ $\dfrac{1}{3}$ $0.\dot{3}$ $0.25$ $\dfrac{7}{8}$ 정수 $\mathbb{Z}$ $-3$ $-1$ $0$ 자연수 $\mathbb{N}$ $1$ $2$ $3$
집합 포함 관계

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ — 자연수는 모두 정수, 정수는 모두 유리수.

그러나 그 반대는 X — 모든 유리수가 정수는 아니고($\dfrac{1}{3}$), 모든 정수가 자연수는 아니다($-3, 0$).

📍 $\mathbb{Q}$ 너머에는?

"끝나지도 순환하지도 않는 무한소수"가 있다면? 예를 들어 $\pi = 3.14159265\ldots$, $\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$ — 이들은 분수로 표현할 수 없는 무리수(irrational number)입니다.

무리수는 $3$학년 "제곱근과 실수" 단원에서 본격적으로 다룹니다. 그러나 지금은 — 유리수의 두 얼굴 — 유한소수와 순환소수 — 만 기억해 두세요.

INTERACTIVE

유리수 판정기

분수 또는 소수를 입력하면 유리수인지, 그렇다면 유한·순환 중 어느 쪽인지 판정합니다.

RATIONAL JUDGE
✓ 유리수 — 유한소수
3/8 — 분모 8 = 2³, 소인수 2뿐. 0.375로 끝남.
QUICK CHECK · 5문항

개념을 점검해 봅시다

Q-01
선택형
유리수의 올바른 정의는?
Q-02
O/X
$0$은 유리수이다.
Q-03
O/X
모든 정수는 유리수이다.
Q-04
O/X
모든 유리수는 자연수이다.
Q-05
선택형
유리수의 표현 방식이 아닌 것은?
WORKED EXAMPLES · 2문항

예제로 익혀 보자

EXAMPLE 01
다음 수들 중 유리수가 아닌 것을 모두 고르시오: $\dfrac{2}{7},\ -5,\ 0.5,\ 0.\dot{3},\ \pi$.
$\dfrac{2}{7}$: 분수 → 유리수.
$-5$: 정수 ($-5 = \dfrac{-5}{1}$) → 유리수.
$0.5$: 유한소수 ($\dfrac{1}{2}$) → 유리수.
$0.\dot{3}$: 순환소수 ($\dfrac{1}{3}$) → 유리수.
$\pi = 3.14159\ldots$: 순환하지 않는 무한소수 → 분수로 표현 불가 → 유리수가 아님 (무리수).
▶ 유리수가 아닌 것: $\pi$
EXAMPLE 02
$0.\dot{2}\dot{7}$이 유리수임을 분수로 변환하여 보이시오.
공식 적용: 분자 = $27 - 0 = 27$, 분모 = $99$ (순환마디 2자리).
$0.\dot{2}\dot{7} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$ (약분).
$\dfrac{3}{11}$은 정수 $3$과 정수 $11$의 비 → 유리수의 정의에 부합.
▶ $\dfrac{3}{11}$ ∈ $\mathbb{Q}$
PRACTICE · 8문항

스스로 연습해 보자

P-01 ★
O/X
자연수 $7$은 유리수이다.
P-02 ★
O/X
$0.\dot{8}\dot{1}$은 유리수이다.
P-03 ★
선택형
$\mathbb{Q}$가 의미하는 수의 집합은?
P-04 ★★
선택형
다음 중 유리수가 아닌 것은?
P-05 ★★
선택형
"모든 유리수는 ???이다"의 빈 칸에 들어갈 수 없는 것은?
P-06 ★★
O/X
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$이지만 그 반대는 성립하지 않는다.
P-07 ★★★
선택형
분수 $\dfrac{a}{b}$(단, $a, b$는 서로소이고 $b > 0$)가 유한소수가 될 충분필요조건은?
P-08 ★★★
O/X
$0.\dot{9} = 1$이다. (즉, $0.999\ldots$는 정확히 $1$과 같다)
WRAP-UP

2.3 유리수의 정의 — 핵심 정리

유리수 $\mathbb{Q}$ = "정수의 비"의 집합. 두 표현 방식 — 유한소수와 순환소수 — 은 유리수의 두 얼굴.

POINT 1

$\mathbb{Q} = \{\dfrac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0\}$

POINT 2

유리수 ⇔ 유한소수 또는 순환소수

POINT 3

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ (포함 관계)

POINT 4

$\mathbb{Q}$ 너머에 무리수 ($\pi, \sqrt{2}, \ldots$) — 3학년에서 다룸

↑ Ⅰ-2. 순환소수와 유리수 차례로